Meta Math
これは、メタ的数学と呼ばれる新たな数学の形式で、無限などの一定に決めれない値でも計算できます。
無限の扱い
無限への計算は、無限からの相対的値とします。
例: inf / inf = 1
inf + 250 - 150 = inf + 100
このように、無限に対して行った演算は、無限からの相対的値と見なされます。
もちろん無限に無限を演算してもいいです。
例: inf + inf = 2inf
inf * inf = inf^2
複数の可能性がある値の非決定的演算
メタ数学では、解が一定に定まらない
場合、その可能性のある全ての値の性質を持つとします。
例えば 0 / 0
これは0 * x = 0
の場合のxを求める問題ですが、どれにもxは当てはまります。
なので、それら全ての値の性質を持つとします。表記は次のようにします。
[-inf → inf]
無限において一律に決定しない性質
数値の性質には、偶数、奇数などがあります。
では、無限は奇数？偶数？
これも同様にどちらの性質も持つことにします。
逆に偶数が掛けられていればそれは偶数に、偶数ということになっているものに奇数を足すと奇数ということになります。
重ね合わされた性質の処理
先ほど、値が複数重ね合わされている値はその値の性質全て含まれていると言いました。
これは、その値に対しての演算で性質が変わる場合、各値の性質は独立して処理されます。
[1 → 12]
これがあるとします。
ここに2をかけると全ての値は偶数になるため、偶数/奇数の性質は偶数だけになります。
逆に、+1など、偶数は奇数に、奇数は偶数になる演算の場合、この値には偶数と奇数が含まれているので性質はどちらも含みます。
逆に、0をかけた場合、全ての値は0になり、偶数になりますが、[0 → 0]など、長さは1，値は0の重ね合わせ値は汚いので重複は消します
無限に対しても同様で、[-inf → inf]は偶数と奇数を全て含むので、以下のようにすると(この範囲値はxとします)
x + 1は偶数+奇数
0xは偶数で0になる
infの定義
infは、一つの相対の値とします。
通常は原点は0ですが、infに対する演算の場合は原点はinfとなります。
無限回の試行による処理
無限回の試行は次のように表します。
[1<i<100] +(i/10i)
これは、
1/10 + 2/20 + 3/30 …
を表します。
そして何かに収束する値を示したい場合、
i -/> 100
とします。
図形としての書き方は矢印に斜め線です。
これは、同じではないが、そのうち収束することを示します。
[1<i<inf] +(1/(2^i))
こういう、無限回繰り返す式の場合は必ず解は収束先である1になります。
非決定値(範囲式)
[a → b]
などの範囲式はaからbまでの範囲の整数を表します。
ただ、aあるいはbが0.0など、明確に小数がついている場合はその間の全ての小数を含みます。
他には条件式があります。
[a -(0.1)-> b]
これは0.1刻みであることを示します。
0.00…1などを指定した場合、これは無限に小さく、最後の値が1であることを示します。
この値は無限と同様に相対的原点になります。
つまり、0.0…1に10をかければ
0.0…1 * 10
となります。
非決定値と非決定値の演算
非決定値と非決定値の演算の解に存在する範囲はa * bの場合、最大aの長さ * bの長さ個の値があります。
[1 → 5] + [1 → 5]
これの場合、展開すると
[
2, 3, 4, 5, 6,
7, 8,
9,
10
]
重複を消しているためこうなります。同様に
[1 → 3] * [1 → 3]
の場合、展開すると
[
1, 2, 3,
4, 6,
3, 9
]
このようになります。
infに対する分数
次のようなパターンを考えます。
2inf / inf
これは2とすることができます。
では、
(1 + inf) / inf
これはどうでしょう。現代の数学では、
5 / 5 = 1
(5 + 1) / 5 = 6/5
とできます。
このように考えると
(inf + 1) / infはそのまま
(inf + 1) / inf
とできます。しかしこれは長く、式と変わらないので汚いです。
また、1 / inf
は、無限に小さい値と考えれます。つまり、
0.0…1
と考えられるわけです。
つまり、
1.0…1
とできるわけです。
全ての素数の表現
素数は、pで表します。
数式は(i)p
i番目の素数を表します。
([1 → inf])p
これは、全ての素数を表します。
これら全てをかけるとします。
すると、これは最初に2があるので偶数、+1は奇数とできます。
しかし、偶数である数値、もしくは奇数である数値としかわかりません。
では、そのような処理をした式はどのように表すのでしょう？([1 →
inf])p + 1
とします。
次に、素数などの特殊値の全演算の処理を定義します。
これは基本的に
[1<i<inf] *((i)p)
と表します。
+((i)p)なら掛け算ではなく足し算、
2 + 3 + 5 + 7…
です。
割り算なら
/((i)p)
2 / 3 / 5 / 7…
これがMeta Mathなんですが、ユークリッドの素数無限性によると1個目の素数からn個までの素数を全て掛けて+1するとn+1の素数が生まれるとされています。
これを使って
([1<i<inf] *((i)p)) + 1
これを素数としたら、パラドックスが起きます。
無限個の素数を列挙してその積を求めたはずなのに、無限個目の素数より大きい素数が存在することが問題です。
それでできた素数は(inf)pではないのです。
これがパラドックス
まあ幸いながらMeta Mathには無限というのは原点なので、それを(inf + 1)pとすればいいです
かなりチートな直し方